Сколько львов требуется, чтобы убить ягненка? Ответ не так прост, как вы думаете. По крайней мере, по теории игр.

Теория игры является отраслью математики, которая изучает и прогнозирует принятие решений. Он часто включает в себя создание гипотетических сценариев или «игр», в соответствии с которыми некоторые лица, называемые «игроки» или «агенты», могут выбирать из определенного набора действий в соответствии с рядом правил. Каждое действие будет иметь «окупаемость», и цель обычно заключается в том, чтобы найти максимальную отдачу для каждого игрока, чтобы выработать то, как они, вероятно, будут себя вести.

Этот метод использовался в самых разных областях, включая экономика, биология, политика и психология, и помочь объяснить поведение на аукционах, голосовании и конкуренции на рынке. Но теория игр, благодаря своей природе, также породила некоторые развлекательные мозговые дразнилки.

Одна из менее известных из этих головоломок включает в себя разработку того, как игроки будут соревноваться за ресурсы, в этом случае голодные львы и вкусный ягненок. Группа львов живет на острове, покрытом травой, но без других животных. Львы идентичны, совершенно рациональны и осознают, что все остальные рациональны. Они также знают, что все остальные львы знают, что все остальные рациональны и так далее. Это взаимное понимание - это то, что называется "всем известный факт». Это гарантирует, что ни один лев не рискнет или не попытается перехитрить других.

Естественно, львы очень голодны, но они не пытаются сражаться друг с другом, потому что они идентичны по физической силе, и поэтому неизбежно все в конечном итоге мертвы. Поскольку все они совершенно рациональны, каждый лев предпочитает голодную жизнь до определенной смерти. Без альтернативы, они могут выжить, поедая практически неограниченные запасы травы, но все они предпочли бы потреблять что-то более мясистое.

Однажды на острове чудесно появляется ягненок. Какое несчастное создание кажется. Тем не менее, на самом деле у него есть шанс выжить в этом аду, в зависимости от количества львов (представленного буквой N). Если какой-нибудь лев уничтожит беззащитного агнца, он станет слишком полным, чтобы защитить себя от других львов.

Предполагая, что львы не могут делиться, задача состоит в том, чтобы выяснить, выживет ли ягненок в зависимости от ценности N. Или, если сказать другим образом, что лучший способ действий для каждого льва - есть ягненка или не есть ягненка - в зависимости от того, сколько других есть в группе.

решение

Этот тип проблемы теории игр, где вам нужно найти решение для общего значения N (где N - положительное целое число), является хорошим способом тестирования логики теоретиков игр и демонстрации того, как работает обратная индукция. Логическая индукция предполагает использование доказательств для заключения, которое, вероятно, верно. Обратная индукция является способом нахождения четко определенного ответа на проблему, возвращаясь, шаг за шагом, к самому основному случаю, который может быть разрешен простым логическим аргументом.

В игре львов основным случаем будет N = 1. Если бы на острове остался только один голодный лев, он, без колебаний, съел бы ягненка, так как нет других львов, чтобы конкурировать с ним.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет в случае N = 2. Оба льва заключают, что если один из них ест ягненка и становится слишком полным, чтобы защищаться, его будет съедать другой лев. В результате ни один из них не попытается съесть ягненка, и все три животных будут жить счастливо вместе, едя траву на острове (если жить жизнью, исключительно зависимой от рациональности двух голодных львов, можно назвать счастливой).

Для N = 3, если любой из львов съедает ягненка (фактически превращаясь в беззащитного самого ягненка), он уменьшит игру до того же сценария, что и для N = 2, в котором ни один из оставшихся львов не попытается уничтожить новый беззащитный лев. Так что лев, который ближе всего к самому ягненку, ест его, и три льва остаются на острове, не пытаясь убить друг друга.

И для N = 4, если любой из львов съест ягненка, это уменьшит игру до сценария N = 3, что будет означать, что лев, который съел ягненка, в конечном итоге будет съеден сам. Поскольку ни один из львов не хочет, чтобы это произошло, они оставляют одного ягненка в покое.

По сути, исход игры определяется действием льва, ближайшего к ягненку. Для каждого целого N Лев понимает, что употребление ягненка уменьшит игру до случая N-1. Если случай N-1 приводит к выживанию ягненка, ближайший лев ест его. В противном случае все львы позволят ягненку жить. Итак, следуя логике обратно в базовый случай каждый раз, мы можем заключить, что ягненок всегда будет съеден, когда N является нечетным числом и выживет, когда N - четное число.

Об авторе

Амирлан Сексенбаев, к.э.н., кандидат математических наук, Вероятность и применение, Queen Mary Лондонского университета

Эта статья изначально была опубликована в Беседа, Прочтите оригинал статьи.

Книги по этой теме

at Внутренний рынок самовыражения и Amazon